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2020年國考行測筆試容斥問題中的最值問法

作者:王思文 分校:遼寧分校
2019-11-04 11:34:27

容斥問題是公考中較為常見的一類題型,小伙伴們再練習的時候也樂于做這類題型,常常感覺這類題型的難度低,方法固定,比較容易求解。但在2019年國考時,不少同學會發現原本簡單的容斥問題變難了,因為之前我們學過的容斥問題往往直接列方程求解即可,但是2019年的國考題在設問中出現了“至少”兩個字,同學們便無從下手了。

那么當容斥問題的設問中出現了“至多”、“至少”等最值問法時,我們應該如何解題呢?我們常用的解法一般是設未知數列出不定方程,然后通過分析如何取最值的方法來求解。我們不妨通過幾道例題來總結一下這類題型的規律,希望對大家有所幫助。

【例1】(2018遼寧省公檢法)某班在籌備聯歡會時發現很多同學都會唱歌和樂器演奏,但有部分同學這2種才藝都不會。具體有4種情況:只會唱歌,只會樂器演奏,唱歌和樂器演奏都會,唱歌和樂器演奏都不會。現知會唱歌的有22人,會樂器演奏的有15人,兩種都會的人數是兩種都不會的5倍。這個班至多有( )人。

A. 27

B. 30

C. 33

D. 36

【思路點撥】分析題干我們可以發現這是一個兩集合容斥問題,設問中出現了“至多”這種最值問法。

那么我們可以設該班共有x人,唱歌和樂器演奏都不會的有y人,則兩種都會的有5y人,根據二集合容斥公式可列出不定方程:x-y=22+15-5y,化簡得:x=37-4y。

要想x取值最大,則y應最小,因為題干中提到有部分同學這2種才藝都不會,所以y最小取1而不能取0;當取y=1時,x=33,故這個班至多有33人。因此,選擇C選項。

【例2】(2019國考)有100名員工去年和今年均參加考核,考核結果分為優、良、中、差四個等次。今年考核結果為優的人數是去年的1.2倍。今年考核結果為良及以下的人員占比比去年低15個百分點。問兩年考核結果均為優的人數至少為多少人?

A. 55

B. 65

C. 75

D. 85

【思路點撥】本題是一個2集合的容斥問題,今年考核結果為優的人可以看做一個集合,去年考核為優的人看做另一個集合,設問中也出現了“至少”這種最值問法。

今年考核人數為良及以下的占比降低了15個百分點,則考核結果為優的提高了15個百分點,兩年的總人數均為100,即今年考核結果為優的增加了100×15%=15(人)。設去年考核為優的人數為n,則列方程1.2n-n =15,解得去年人數n=75,今年人數是1.2×75=90(人)

設兩年考核結果均為優的人數為x,兩年考核結果均不為優的人數為y,根據兩集合的容斥原理公式可列等式:100-y=75+90-x;移項后可得x=65+y;根據等式可以分析出當y最小時x最小,y最小可以取0,此時x=65。因此,選擇B選項。

【例3】(2015遼寧省考)有135人參加某單位的招聘,31人有英語證書和普通話證書,37人有英語證書和計算機證書,16人有普通話證書和計算機證書,其中一部分人有三種證書,而一部分人則只有一種證書。該單位要求必須至少有兩種上述證書的應聘者才有資格參加面試。問至少有多少人不能參加面試?

A. 51

B. 50

C. 53

D. 52

【思路點撥】本題是一個三集合容斥問題,設問中出現了“至少”這種最值問法。

設持有三種證書的人數為z,不能參加面試的人數為y,根據“總人數-不能參加面試人數=有資格參加面試人數”可列出不定方程:135-y=31+37+16-2z;整理后可得:y=51+2z;想要讓y盡量的小,那么需要z取最小值,根據“其中一部分人有三種證書”可知z最小值為1,因此當z=1時y最小,此時y=51+2=53(人)。因此,選擇C選項。

【例4】(2013遼寧省考)有100人參加運動會的三個項目,每人至少參加一項,其中未參加跳遠的有50人,未參加跳高的有60人,未參加跑賽的有70人,問至少有多少人參加了不止一項活動?

A.7

B.10

C.15

D.20

【思路點撥】本題是一個三集合容斥問題,設問中出現了“至少”這種最值問法。

分析題干我們可以知道參加了跳遠、跳高、跑賽的人數分別為50、40、30。共有50+40+30=120(人次)參加了這次活動。假設參加了一項、兩項、三項活動的分別有x人,y人、z人。則可以列出不定方程組:

由于我們要求的是y+z,因此消去x可得:y+2z=20;移項可得y+z=20-z;想要y+z最小,需要z最大;通過y+2z=20我們可以分析出z最大可以取10,此時y+z=10最大。因此,本題選擇B選項。

通過這幾道容斥問題的解析我們大致了解了這類題的解題方法,即通過設未知數的方法列出不定方程,然后根據未知數取最值的情況進行分析,得出想要的答案。

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